Question

已知函数f(x)=2lnx+x^2-a^x (x>0.a属于R) 1.是否存在实数a,使f(1)是

已知函数f(x)=2lnx+x^2-a^x (x>0.a属于R)
1.是否存在实数a,使f(1)是f(x)的极小值？若存在，求a.若不存在，请说明理由
2.当a>0时，若函数f(x)在[1.2]上单减，求a最小值
3.当a=根号5时，f(x)在区间(k-1/2.k)上为单调函数，求k的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=2lnx+x²-a^x (x>0，a>0，且a≠1)【原题a∈R是错误的】
1.是否存在实数a,使f(1)是f(x)的极小值？若存在，求a；若不存在，请说明理由
2.当a>0时，若函数f(x)在[1.2]上单减，求a最小值
3.当a=√5时，f(x)在区间(k-1/2，k)上为单调函数，求k的取值范围
解：(1)。f'(x)=2/x+2x-(a^x)lna，已知f'(1)=2+2-alna=0，故得alna=ln(a^a)=4=lne⁴，
于是得a^a=e⁴=54.59815.....，a≈3.33；
(2)。设g(x)=2/x+2x，g‘(x)=-2/x²+2；当x=1时g'(1)=0；当x>1时g'(x)>0，故在区间[1，2]上g(x)是
单调增加的函数，其最小值为g(1)=2+2=4；最大值为g(2)=1+4=5；
故要使f(x)=2lnx+x^2-a^x在[1，2]上单调减，必须使f'(x)=2/x+2x-(a^x)lna≦0在区间[1，2]上恒成立；
即应使(a²)lna≧(2/x+2x)=5，即最小的a应满足等式a^(a²)=e⁵=148.413；由此得amin≈2.3908；
(3)。a=√5时，f(x)=2lnx+x²-5^(x/2)；
当f(x)在[k-1/2，k]上单调增时，有f'(x)=2/x+2x-[(1/2)ln5]5^(x/2)≧0在[k-1/2，k]上恒成立。
当f(x)在[k-1/2，k]上单调减时，有f'(x)=2/x+2x-[(1/2)ln5]5^(x/2)≦0在[k-1/2，k]上恒成立。

【应该把这个出题的人送上绞刑架】

Answer 2

这么大的问题，居然一分都没有，你厉害。。

追问

怎么做啊啊啊

追答

额。错了，a竟然属于R，你再看看

追问

是这样啊

追答

好吧，讨论a取值。
若a0,对函数求二次导得f''(x)=-2/x^2+2-a^x*lna*lna，f''(1)=-alna*lna<0,有极大值；
综上，不存在a

追问

第二，三问

追答

看了下2,3问，感觉压力山大啊，不是一般的题啊，不会了，看有没有厉害的，超越方程过不去