Question

一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数。如64=82，64就

一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数。如64=82，64就是一个完全平方数；若20122+20122*20132+20132，求证：a是一个完全平方数

Answer 1

a=2012^2+2012^2*2013^2+2013^2
=2012^2+2012^2*(2012+1)^2+2013^2
=2012^2+2012^2*(2012^2+2*2012+1)+2013^2
=(2012^2)^2+2012^2*(1+2*2012+1)+2013^2
=(2012^2)^2+2012^2*2*2013+2013^2
=(2012^2+2013)^2
所以a是一个完全平方数

追问

请问一下
=2012^2+2012^2*(2012^2+2*2012+1)+2013^2
=(2012^2)^2+2012^2*(1+2*2012+1)+2013^2
这两部怎么过度，就是(2012^2+2*2012+1)如何变为2012^2*(1+2*2012+1）

追答

设2012为X
=x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2
= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1
= ( x^2 + x + 1 )^2

这样是不是清楚些

追问

x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2
= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1

这两步还是不解

追答

x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2

=x^2+x^2(x^2+2x+1)+x^2+2x+1
=x^2+x^4+2x^3+x^2+x^2+2x+1
=x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1

追问

那为什么
= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1
= ( x^2 + x + 1 )^2

对不起麻烦太久了

追答

根据平方公式:（a+b+c)平方=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
( x^2 + x + 1 )^2= x^4 + x^2 + 1+2x^3+2x^2+2x= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1