Question

求函数z=x^2-xy+y^2在区域|x|+|y|<=1的最大值,最小值

急求，今天之内要解答过程
答案是Zmin=Z（0,0）=0
Zmax=Z（0,1）=Z（1,0）=Z（0,-1）=Z（-1,0）=1

Answer 1

第一步，找|x|+|y|<1区域内的奇点
令əZ/əx=0，əZ/əy=0，解得一奇点(0,0)

第二步，找四条边界上（不包括四个顶点）的极值点
构造拉格朗日函数，以x+y=1，0<x<1为例
L(x,y,λ)=x^2-xy+y^2+λ*(x+y-1)
令əL/əx=0，əL/əy=0，əL/əλ=0，看解出的解中是否在0<x<1范围内，具体的我不算了

第三部，比较以下点处的值，找出最大值和最小值：
第一步中的奇点，第二步中由拉格朗日函数得到的极值点，以及四个边界顶点

此为通用解法，不受题目限制，不懂再问

Answer 2

z=x^2-xy+y^2

最小值
z=x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+3y^2/4≥0
当x=y=0时等号成立

最大值
z=x^2-xy+y^2
=(|x|+|y|)^2-2|xy|-xy
=1-(2|xy|+xy)
≤1-|xy|
≤1
当|x|+|y|=1且xy=0时等号成立。

如果认为讲解不够清楚，请追问。
祝：学习进步！