Question

离散数学群的证明题

a。｛v1
v2 v3 v4｝=｛v2 v1 v3 v4｝
b。｛v1 v2 v3 v4｝=｛v1 v2 v4 v3｝
e。｛v1 v2 v3 v4｝=｛v1
v2 v3 v4｝
为啥a b e 这三个无法构成群？是不是a。b不属于这个群？怎么算出来的，还有求证的时候是否先假定 结合律适用
还是先要证明他有结合律？如果没结合律 第一个封闭性就很难证啊然后找到个最小的群能包含a b e的

Answer 1

群是定义了二元运算的集合, 光给出元素是不行的.
这里的元素是置换, 有一个默认的运算是置换的复合.

有了运算, 封闭性就能直接验证, 不依赖结合律.
按照置换复合的定义, 可直接算得a·b: {v1 v2 v3 v4} → {v2 v1 v4 v3}不在集合{a, b, e}之中.

置换关于复合是满足结合律的, 4元置换全体构成群S4.
这三个元素属于S4, 结论也可以说是{a, b, e}不构成S4的子群(不封闭).
S4的包含a, b, e的最小子群就是{ab, a, b, e}, (ab = ba).
验证是子群只要验证对运算和取逆封闭.

追问

比方 e o f(x)=f(x)
则 e o f (x)=e o ｛e o f (x) ｝=e o e o f(x) 得到 e o e属于群关系 这里难道没用到结合律？还有a·b: {v1 v2 v3 v4} → {v2 v1 v4 v3}不在集合{a, b, e}之中怎么看出来的 怎么说明下?比如 aob 不等于啊a,b ,e

追答

e·e属于集合这是封闭性要求的, 要是不在集合内说明不是群.
不需要用结合律去证明.

封闭性是要去验证的, 例如这里:
a: {v1 v2 v3 v4} → {v2 v1 v3 v4},
可算得a·a: {v1 v2 v3 v4} → {v1 v2 v3 v4}, 即a·a = e.
于是a·a没有破坏封闭性(但上面算得a·b破坏了封闭性).

而且我没看出你推导的逻辑.
你是说若e·f = f对任意f成立, 则e·e属于集合?
为什么不直接由e·e = e得到?
而且如果e·e不在集合内, e·e和f的运算都没有定义, 哪里去用结合律?

a, b, e三个元素都已经写出来了, 它们都和a·b不同这是明显的啊.
a: {v1 v2 v3 v4} → {v2 v1 v3 v4},
b: {v1 v2 v3 v4} → {v1 v2 v4 v3},
e: {v1 v2 v3 v4} → {v1 v2 v3 v4},
a·b: {v1 v2 v3 v4} → {v2 v1 v4 v3}.
你是觉得哪里需要说明?

追问

可算得a·a: {v1 v2 v3 v4} → {v1 v2 v3 v4}, 即a·a = e
你这里难道没用到结合律？你等于把aoao{v1 v2 v3 v4}=ao ( ao{v1 v2 v3 v4}) 才的到的 ：aoao｛v1 v2 v3 v4｝=｛v1 v2 v3 v4｝ 不是吗 ？
我这里是ao{v1 v2 v3 v4} 不是a 冒号 aobo{v1 v2 v3 v4}={v2 v1 v4 v3}

追答

概念有点混淆. a和a之间运算与a和v1之间的关系是不同的.
你这里的元素是置换, 可以理解为集合{v1, v2, v3, v4}到自身的可逆映射.
例如a, 将v1映到v2, v2映到v1, v3映到v3, v4映到v4.
简记为{v1 v2 v3 v4} → {v2 v1 v3 v4}.

两个元素间的运算是复合, 复合的定义就是先做一个映射再做一个映射.
因此(a·a)(v1)就是a(a(v1)) = a(v2) = v1, 这是a·a的定义, 不是结合律.
应该看到a和v1的地位是不同的, a是映射, 而v1是被a作用的对象.
两个映射可以复合, 但映射不是和对象复合.

真正的结合律发生在三个映射之间.
((a·b)·c)(v1)按定义是(a·b)(c(v1)), 而(a·(b·c))(v1)按定义是a((b·c)(v1)).
但是二者其实都可进一步展开为a(b(c(v1)), 因此结合律是成立的.

追问

可题目给的就是ao｛v1 v2 v3 v4｝=｛v2 v1 v3 v4｝ 就是a运算｛v1 v2 v3 v4｝啊

追答

那是题目的写法不好.
虽然记号一样, 但是题目也没有说a与{v1 v2 v3 v4}是群运算吧.
不妨理解为记号一样但含义不同.
可以说a作用在集合{v1, v2, v3, v4}上, 而a·b则说是复合.

再强调一遍, 结合律说的是群的元素间运算的结合律.
这里的例子是置换群, 里面的元素是可逆映射, 运算是复合.
置换群的结合律和被映射作用的集合没关系.
结合律的表达式(a·b)·c = a·(b·c)中出现的只有群当中的元素.

可能有点离题了.
计算a·b确实要用到(a·b)(v1) = a(b(v1)).
不过这是运算的定义(而不是结合律), 不需要证明.
有了运算的定义才能验证运算的性质(封闭性, 结合律等).