Question

在三角形ABC中,BC=1,AB=根号3,AC=根号6,点P是三角形ABC外接圆上一动点,求向量BP与向量BC数量积的最大值是

Answer 1

这题首先要求出外接圆的半径：2r=a/sinA，a=1，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(6+3-1)/6sqrt(2)=2sqrt(2)/3，故：sinA=1/3，即：2r=3，即：r=3/2
设O点是△ABC的外心，则：∠BOC=2A，故：cos(∠BOC)=cos(2A)
=1-2sinA^2=7/9，故：OB·OC=|OB|*|OC|*cos(∠BOC)=(9/4)*(7/9)=7/4
而：BP=OP-OB，BC=OC-OB，故：BP·BC=(OP-OB)·(OC-OB)=OP·OC+|OB|^2-OB·OC-OP·OB
=OP·(OC-OB)+|OB|^2-OB·OC=OP·BC+9/4-7/4=OP·BC+1/2
当：OP与BC同向时，OP·BC取得最大值：|OP|*|BC|*cos(0)=(3/2)*1*1=3/2
故BP·BC的最大值：3/2+1/2=2

Answer 2

此题最好这样理解：

BP*BC=|BP||BC|cos<BP,BC>
而|BP|cos<BP,BC>正好是BP在直线BC上的投影
设外接圆圆心O，半径r
作OD⊥BC于D，向C点平移OD使之与圆O相切于P，与BC交于E，则此时投影最大，即为所求P位置
现在求|BP|cos<BP,BC>即投影BE长度，由于四边形OPED为矩形，所以DE=OP=r，从而BE=0.5+r;
BP*BC=|BP||BC|cos<BP,BC>=BE*BC=(0.5+r)*1
问题就转化为求半径r
由正弦定理（即2r=a/sinA）可得r=1.5,从而BP*BC=0.5+1.5=2

追问

求助：若x>o,求证：e^x-ln(x)>2