Question

如图，已知圆o的弦AB的长为半径OA的根号3倍，C为弧AB的中点，AB,OC交于点P，求证：四边形OACB是菱形

Answer 1

证明：连接OC与AB相交于点E
因为点C是弧AB的中点
所以弧AC=弧BC
所以AC=BC
因为角AOC=1/2弧AC
角BOC=1/2弧BC
所以角AOC=角BOC
因为OA=OB
OE=OE
所以三角形AOE和三角形BOE全等（SAS)
所以AE=BE=1/2AB
角AEO=角BEO
因为角AEO+角BEO=180度
所以角AEO=90度
由勾股定理得：
OA^2=OE^2+AE^2
因为AB=根号3*OA
所以OE=1/2OA
所以角OAE=30度
因为角OAE+角AEO+角AOC=180度
所以角AOC=60度
因为OA=OC
所以三角形OAC是等腰三角形
所以三角形OAC的等边三角形
所以OA=AC=BC=OB
所以四边形OACB是菱形

Answer 2

因为C是弧AB的中点，OC交AB于P，所以由垂径定理知，OC⊥AB，且AP=BP。因为AB=根3OA，所以AP/OA=根3/2，即∠AOP=60°，所以∠OAP=30°。所以OP=1/2OA，即OP=1/2OC。因为AP=BP,OP=C[P,AB⊥OC。。所以四边形OACB是菱形。。

Answer 3

因为C为弧AB的中点
所以OC垂直平分AB
因为AB=√3*OA，AB=2*AP
所以AP=√3/2*OA
所以OP=1/2*OA
因为OA=OC
所以OP=CP=1/2*OC
因为OC和AB相互垂直且平分
所以四边形OACB是菱形

Answer 4

连接OC则OC垂直平分AB，设交点为D
则AD=BD=（r根号3）/2
直角三角形AOD中解得OD=r/2
因此OD=DC=r/2
所以四个直角三角形AOD,BOD,ADC,BDC全等
所以四条边相等
菱形