Question

a1=1,an+1=2an + 2n+1,求数列{an}的通项公式。

Answer 1

a2=2a1+2+1=5，a3=2a2+4+1=15
an+1=2an+2n+1......①
则an=2an-1+2(n-1)+1，化为an=2an-1+2n-1......②
①-②，得an+1-an=2(an-an-1)+2......③（把n消掉了）
设bn=an+1-an，b1=a2-a1=4，b2=a3-a2=10，
则③式等同于bn=2bn-1+2......④（可以用构造法了）
设{bn+k}为等比数列，公比为2，则bn+k=2(bn-1+k)
化简得bn=2bn-1+k，由④，得k=2。
∴{bn+2}为等比数列，公比为2，
∴bn+2=(b1+2)*2^(n-1)=3*2^n，
即bn=an+1-an=3*2^n-2
（最后是叠加法）an-an-1=3*2^(n-1)-2
an-1-an-2=3*2^(n-2)-2
......
a2-a1=3*2-2
全部相加，得an-a1=3*2^(n-1)-2+3*2^(n-2)-2+......+3*2-2
=-2(n-1)+3【2^(n-1)+2^(n-2)+......+2】
=-2(n-1)+3【2*[1-2^(n-1)]/1-2】
=-2(n-1)+3【2^n-2】
=-2n+2+3*2^n-6=3*2^n-2n-4
∴an=3*2^n-2n-4+a1=3*2^n-2n-3
自己想的，方法可能复杂了

Answer 2

设an+1+k=2（an+k）再与原式比较得k=2n+1所以{an+2n+1}为等比数列又因为a1=1所该等比数列的首相为5，公比为2，得an=5*2^(n-1)-2n-1(n大于等于2），a1=1

Answer 3

a(n+1)=2a(n) + 2n+1
设a(n+1)+x(n+1)+y=2[a(n) + xn+y]
整理得a(n+1)=2a(n) + xn+y-x
x=2 y-x=1 y=3
a(n+1)+2(n+1)+3=2[a(n) + 2n+3]
记b(n)=a(n) + 2n+3
则b(n+1)=2b(n) b(1)=a(1)+2+3=6
b(n)=b(1)*2^(n-1)=6*2^(n-1)=3*2^n
所以a(n)=3*2^n-2n-3

Answer 4