Question

向量a、b满足|a|=|b|=2，|c|=1，（a-c)(b-c）=0，求|a-b|的取值范围。

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

(a-c)(b-c)=0---->ab-c(a+b)+c^2=0---->(ab+1)^2=[c(a+b)]^2,
(ab)^2+2(ab)+1<=c^2(a^2+b^2+2ab)=8+2ab,(ab)^2=7,|ab|=√7.
∵ ab∈R, ∴ -|ab|≤ab≤|ab|,即-√7|≤ab≤√7.
∵ -2√7|≤-2ab≤2√7, 8-2√7|≤8-2ab≤8+2√7,即
(√7-1)^2≤8-2ab≤(√7+1)^2.而|a-b|^2=a^2+b^2-2ab=8-2ab,
∴ (√7-1)^2≤|a-b|^2≤(√7+1)^2, ∴ √7-1≤|a-b|≤√7+1.

追问

[c(a+b)]^2=c^2(a+b)^2不对吧

Answer 3

∵（a-c)(b-c）

=ab-(a+b)c+c²
=0
∴(ab+1)²=[c(a+b)]²,
(ab)²+2(ab)+1<=c²(a²+b²+2ab)=8+2ab,
(ab)²=7,
=>|ab|=√7.
∵ ab∈R,
∴ -|ab|≤ab≤|ab|,即-√7≤ab≤√7.
∵而|a-b|²=a²+b²-2ab=8-2ab,
∴ √7-1≤|a-b|≤√7+1.

追问

[c(a+b)]^2=c^2(a+b)^2不对吧？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

追答

lcl la+bl都是实数，且lcl²=c², la+bl²=(a+b)²
为何不对？
是对的

追问

[c(a+b)]^2=c^2(a+b)^2 （都是向量）
如果这个是对的，那么就是说(ab)^2=a^2*b^2
而(ab)^2=(|a||b|cos)^2=a^2*b^2*cos^2
比较一下上面两个式子，两个右边能等吗？
并且你这个
(ab)²+2(ab)+1<=c²(a²+b²+2ab)=8+2ab,
(ab)²=7,
恰好(ab)²不=a^2b^2对吧？要等了还能成立吗？？？
所以能对吗？？