Question

如图，AB为圆O直径，弧CD等于弧CB，CE垂直AD于E，连BE，

1.求证:CE为圆O切线 2.若AE等于6，圆O半径为5，求tan角BEC的值
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Answer 1

第一个问题：
令OC与BD相交于F。
∵弧BC＝弧CD，∴OC⊥BD，∴CF⊥DF。
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴DE⊥DF。
∵CE⊥DE，又DE⊥DF、CF⊥DF，∴四边形DECF是矩形，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线。

第二个问题：
∵四边形DECF是矩形，∴CE＝DF。
∵弧BC＝弧CD，∴DF＝（1/2）BD，∴CE＝（1/2）BD。
∵CE切⊙O于C，∴CE^2＝DE×AE＝6DE，∴（1/4）BD^2＝6（AE－AD），
∴BD^2＝24（6－AD）。
∵AD⊥BD，∴AD^2＋BD^2＝AB^2，∴AD^2＋24（6－AD）＝100，
∴AD^2－24AD＋44＝0，∴（AD－22）（AD－2）＝0，显然有：AD＜AE＝6，∴AD＝2，
∴DE＝AE－AD＝6－2＝4。
∴BD^2＝AB^2－AD^2＝100－4＝96，∴BD＝4√6。
∵四边形DECF是矩形，∴CE∥BD，∴∠BEC＝∠DBE。
∴tan∠BEC＝tan∠DBE＝DE/BD＝4/（4√6）＝√6/6。