Question

观察下列各式，你有什么发现？ 3的平方=4+5，5的平方=12+13，7的平方=24+25 9的平方=40+41……

（1）填空：13的平方= +
（2）请写出你发现的规律。
（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

Answer 1

解析：将上述式子按如下排列
3²=4+5
5²=12+13
7²=24+25
9²=40+41
……
可以发现这一式子：（2n+1）²=1/2[（2n+1）²-1]+1/2[（2n+1）²+1]
即（2n+1）²=（2n²+2n+1）+（2n²+2n）
2n+1=13时，n=6，代入上式可得
13²=84+85
又发现3、4、5；5、12、13；7、24、25……是勾股数
那么猜想这一规律可用勾股定理解释
∵（2n+1）²+（2n²+2n+1）²=（2n²+2n）²
∴（2n+1）²=（2n²+2n）²-（2n²+2n+1）²
∴（2n+1）²=[（2n²+2n）+（2n²+2n+1）]×[（2n²+2n）-（2n²+2n+1）]
∴（2n+1）²=[4n²+4n+1]×1=（2n+1）²×1
显然成立，则这一结论成立

Answer 2

13²=84+85 (2n+1)²=2n(n+1)+2n(n+1)+1

Answer 3

（1）13方=84 85（2）3方 4方=5方，5方 12方=13方，7方 24方=25方....以此类推