Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b属于R）方程f（x）=x的两实根为α ，β，且α＜1＜β＜2

第一问：求a，b满足的不等式组。第二问：若函数f（x）与x轴两交点分别为（x1,0）（x2,0） 求证（x1+1）（x2+1）＜7

Answer 1

第一题
f（x）=ax²+4x+b=x >>>ax²+3x+b=0

用实根方程，α=[3^2-根号下（3^2-12*ab）]/2a ，β=[3^2+根号下（3^2-12*ab）]/2a,再由ab范围求，
由方程根的条件deta=16-16ab>0，求解
第二题
（x1+1）（x2+1）=x1*xq+(x1+x2)+1=b/a-4/a+1,带入第一问中a,b范围即可

Answer 2

（1）由题意f（1）=a+4+b＞0，f（2）=4a+8+b＜0
联立即a＞-4-b且a＜-2-b/4，应有-2-b/4＞-4-b，得b＞-8/3
故满足方程组-4-b＜a＜-2-b/4，b＞-8/3
（2）x1x2=-4/a，x1+x2=b/a
即证明-4/a+b/a＜6
由于a＜0，即证b-6a-4＞0，即证6a＜b-4
由于6a＜-3b/2-12
故只需证明-3b/2-12＜b-4，得应有b＞-16/5成立
由于-16/5 ＜-8/3，故原式成立，得证