Question

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已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R) (1)当a=1时，解不等式f(x)>3； (1)不等式f(x)≥1在区间(-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

(1) a = 1代入得f(x) = |x-2|+2|x-1|.
当x < 1, f(x) = 2-x+2(1-x) = 4-3x. 由f(x) > 3, 解得x < 1/3, 与x < 1交集就是x < 1/3.
当1 ≤ x < 2, f(x) = 2-x+2(x-1) = x. 由f(x) > 3, 解得x > 3, 与1 ≤ x < 2交集为空.
当2 ≤ x, f(x) = x-2+2(x-1) = 3x-4. 由f(x) > 3, 解得x > 7/3, 与2 ≤ x交集就是x > 7/3.
综上f(x) > 3的解集为x < 1/3或x > 7/3.

(2) 由f(a) ≥ 1, 有|a-2| ≥ 1, a ≤ 1或3 ≤ a.
只要证明对该范围内的a, f(x) ≥ 1恒成立.
实际上由绝对值不等式, f(x) = |x-2|+2|x-a| ≥ |x-2|+|a-x| ≥ |(x-2)+(a-x)| = |a-2| ≥ 1.
故a的取值范围就是a ≤ 1或3 ≤ a.

Answer 2

【参考答案】

（1）当a=1时，原不等式即
l x-2 l+2 l x-1 l>3
当x<1时，2-x+2(1-x)>3，解得 x<1/3
此时，x<1/3；
当1≤x≤2时，(2-x)+2(x-1)>3，解得 x>3
这与1≤x≤2矛盾；
当x>2时，x-2+2(x-1)>3，解得x>7/3
此时，x>7/3
∴ 原不等式解集为x<1/3或x>7/3

(2)由f(a) ≥ 1, 有|a-2| ≥ 1, a ≤ 1或3 ≤ a.
只要证明对该范围内的a, f(x) ≥ 1恒成立.
实际上由绝对值不等式, f(x) = |x-2|+2|x-a| ≥ |x-2|+|a-x| ≥ |(x-2)+(a-x)| = |a-2| ≥ 1.
故a的取值范围就是a ≤ 1或3 ≤ a.

Answer 3

用图像法不叫简单
函数绝对值，画出分段函数的图像就可以看出来了
还有一种方法就是分组讨论。

Answer 4

1.画出函数图像可知，（-∞，1/3）并上（7/3,+∞)
2.a属于（-∞，1]并上[3，+∞)

Answer 5

用数形结合 即|x-2|是X到2的距离 |x-a|同理 2 |x-a|即是两倍x到a距离 因此第一问有两种情况 第一种x大于2则去绝对值求得x大于三分之七 同理第二种x小于三分之二 第二问 更简单了因为第一问距离最小值之和等于1 所以要使得fx在区间内大于等于一恒成立则x≤1 或者 x≥3 就行了 我没有步骤 不知道哥们是不是在考试啊