Question

二重积分

二重积分（xy+1）dxdy， D为 x²+y²<=1 , x²+y²-2x<=0

Answer 1

函数xy关于y是奇函数, D关于x轴对称, 所以xy的二重积分等于0
所以原式=∫∫(D) dxdy=2∫∫(D在第一象限部分) rdrdθ=2{∫[0,π/3]dθ∫[0,1]rdr+∫[π/3,π/2]dθ∫[0,2cosθ]rdr}=2(π/6+∫[π/3,π/2]2cos²θdθ)=2(π/6+∫[π/3,π/2](1+cos2θ)dθ)=2(π/6+π/6-√3/4)=2(π/3-√3/4)
或者原式=∫∫(D) dxdy=D的面积=2(π/3-√3/4)（利用初高中知识可计算得到）

Answer 2