Question

设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一

设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．
（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式π^f(x)＞( 1/ π )^（2-tx）在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（1）由①知，二次函数f(x)=ax2+bx的对称轴为-1，即-b/2a=-1，∴b=2a，则f(x)=ax2+2ax，又由②得y=x与y=ax2+2ax联立消去y，得ax2+(2a-1)x=0，令Δ=0，得a=1/2，∴所求函数解析式为：f(x)=1/2x^2+x。
（2）由π^f(x)＞( 1/ π )^（2-tx）得π^f(x)＞( π )^（tx-2），由指数函数的性质得f(x)＞tx-2即
1/2x^2+x＞tx-2在t∈[-2，2]时恒成立，即tx-2-1/2x^2-x<0在t∈[-2，2]时恒成立，令
f(t)=tx-2-1/2x^2-x，则有f(-2)<0且f(2)<0，即2x-2-1/2x^2-x<0且-2x-2-1/2x^2-x<0，
⇒(x-2)^2>0且x^2+3x+2>0⇒x∈R且x<-3-√5 或x>-3+√5，∴实数x的取值范围为x<-3-√5 或
x>-3+√5。