Question

求图片中幂级数的收敛区间 要过程 谢谢

三个都请回答一下，非常感谢！！

Answer 1

都可以用D'Alembert判别法, 幂级数在收敛半径内绝对收敛.
1. 第n项: (x-6)^n/(n!·6^n).
第n+1项: (x-6)^(n+1)/((n+1)!·6^(n+1)).
当n → ∞时, 比值(x-6)/(6(n+1)) → 0, 对任意x成立.
因此幂级数收敛区间为(-∞,+∞).

2. 第n项: n!(x-6)^n/6^n.
第n+1项: (n+1)!(x-6)^(n+1)/6^(n+1).
当n → ∞时, 比值(n+1)(x-6)/6 → ∞, 对任意x ≠ 6成立.
因此幂级数只在x = 6处收敛.

3. 第n项: (x-6)^n/6^n.
第n+1项: (x-6)^(n+1)/6^(n+1).
比值为常数(x-6)/6.
当|x-6| < 6, 级数绝对收敛.
当|x-6| > 6, 级数发散.
当|x-6| = 6, 级数通项不收敛到0, 因此级数发散.
因此幂级数只对|x-6| < 6收敛, 收敛区间为(0,12).

追问

第2题的分子是n!(3x-6)^n哈，请问那应该是x=6/3吗？

追答

抱歉看错了.
不过方法一样适用.
结果只有3x-6 = 0, 即x = 2.
另外原式其实可以约分为n!(x-2)^n/2^n.