Question

已知关于t的方程t2-2t+a=0（a∈R）有两个虚根t1、t2，且满足|t1-t2|=2根号3

（1）求方程的两个根以及实数a的值．
（2）若对于任意x∈R，不等式loga（x2+a）≥-k2+2mk-2k对于任意的k∈[-2，1/2]恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

（1）因为是实系数方程,所以虚根共轭
所以设t1=c+di,t2=c-di
|t1-t2|=|2di|=2√3
d=±√3
韦达定理
t1+t2=2c=2
c=1
所以a=t1t2=1²+(√3)²=4
所以
t1=1+√3i,t2=1-√3i
a=4

(2)
因为a=4>0,所以loga（x2+a)=log4(x^2+4)单调递增；
且x^2+4≥4，所以log4(x^2+4)≥1；
因为对于x∈R，不等式均成立；
所以只要log4(x^2+4)的最小值大于-k2+2mk-2k即可；
即-k2+2mk-2k≤1，k∈[-2，1/2]；
即2k·m≤k^2+2k+1恒成立；
①k=0, 不等式恒成立；
②0<k≤1/2,则需证m≤k/2+1/（2k）+1恒成立；
因为k/2+1/（2k）+1在0<k≤1/2条件下的最小值为9/4(k=1/2时取到);所以m≤9/4;
③-2≤k<0,则需证m≥k/2+1/（2k）+1恒成立；
因为k/2+1/（2k）+1在-2≤k<0条件下的最大值为0（k=-1时取到）；所以m≥0;
综上0≤m≤9/4.

仅供参考。