Question

已知函数f(x)=x^2+(a+2)x+b满足f(-1)=-2,且对于任意x

且对于任意x属于R，恒有f(x)大于等于2x成立。
1问，求实数a,b的值。
2问，解不等式f(x)小于x+5

Answer 1

f(-1)=1-(a+2)+b=-2
1-a-2+b=-2
a=b+1
∵对于任意x属于R，恒有f(x)大于等于2x成立
∴f(x)=x^2+(b+1+2)x+b>=2x
x^2+(b+1+2)x+b-2x>=0
x^2+(b+1)x+b>=0
∴△=b^2-4ac<=0
(b+1)^2-4b<=0
b^2+2b+1-4b<=0
(b-1)^2<=0
∵ (b-1)^2>=0
∴b=1
a=b+1=2

2
f(x)=x^2+(2+2)x+1
=x^2+4x+1<x+5
x^2-3x-4<0
(x-4)(x+1)<0
-1<x<4

Answer 2

(1)g(x)=f(x)-2x=x^2+ax+b≥0恒成立
∴a^2-4b≤0……①
f(-1)=-a+b-1=-2
∴a=b+1
代入①中，b^2-2b+1≤0
∴b=1,a=2
(2)f(x)=x^2+4x+1＜x+5
→x^2+3x-4＜0
→(x+4)(x-1)＜0
∴-4＜x＜1