在0到兀上,根号下(1+sin2x)dx积分，请写下具体步骤，谢谢！答案是2根号2 5
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可以使用书上的结论，令n=1即可
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∫(0->π)√(1+sin2x)dx
=∫(0->π)√(sin^2x+2sinxcosx+cos^2x)dx
=∫(0->π)|sinx+cosx|dx
=∫(0->3π/4) (sinx+cosx)dx +∫(3π/4->π) -(sinx+cosx)dx
=∫(0->3π/4)sinxdx+∫(0->3π/4)cosxdx-∫(3π/4->π)sinxdx-∫(3π/4->π)cosxdx
=-cosx|(0->3π/4)+sinx|(0->3π/4)+cosx|(3π/4->π)-sinx|(3π/4->π)
=-(-√2/2-1)+(√2/2-0) +(-1-(-√2/2))-(0-√2/2)
=√2/2+1+√2/2 -1+√2/2+√2/2
=2√2
=∫(0->π)√(sin^2x+2sinxcosx+cos^2x)dx
=∫(0->π)|sinx+cosx|dx
=∫(0->3π/4) (sinx+cosx)dx +∫(3π/4->π) -(sinx+cosx)dx
=∫(0->3π/4)sinxdx+∫(0->3π/4)cosxdx-∫(3π/4->π)sinxdx-∫(3π/4->π)cosxdx
=-cosx|(0->3π/4)+sinx|(0->3π/4)+cosx|(3π/4->π)-sinx|(3π/4->π)
=-(-√2/2-1)+(√2/2-0) +(-1-(-√2/2))-(0-√2/2)
=√2/2+1+√2/2 -1+√2/2+√2/2
=2√2
追问
请问为什么要以4分之3兀为分界呢？不是很明白额。。
追答
sinx+cosx
=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)
=√2sin(x+π/4)
当sin(x+π/4)>0时
03π/4时
sin(x+π/4)<0
即sinx+cosx<0
所以就以3π/4分界
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