Question

已知函数f(x)=lnx+ax2+bx 其中a,b为

已知函数f(x)=lnx+ax2+bx 其中a,b为常数 且a≠0，在x=1处有极值
（1），当a=1时，求f(x)的单调区间
（2），若f(x)在（0，e】上的最大值为1，求a的值

Answer 1

函数f(x)在x=1处有极值，则：
f'(1)=0
因：f'(x)=(1/x)＋2ax＋b
则：f'(1)=1＋2a＋b=0
得：
b=－2a－1
即：
f(x)=lnx＋ax²－(2a＋1)x
f'(x)=(1/x)＋2ax－2a－1=[(2ax－1)(x－1)]/(x)

【1】
当a=1时，f'(x)=[(2x－1)(x－1)]/(x)
则：f(x)的递增区间是：(0，1/2)，(1，＋∞)，递减区间是：(1/2，1)

【2】
f'(x)=[(2ax－1)(x－1)]/(x)
(1)若a≤0，则函数在区间(0，e]上的最大值是f(1)=0＋a－(2a＋1)=1，得：a=－2，满足；
(2)若0<a<1/(2e)，则f(x)在(0，e]上的最大值是f(1)=0＋a－(2a＋1)=1，得：a=－2，不满足；
(3)若1/(2e)≤a<1/2，则f(x)在(0，e]上的最大值是：f(1/2a)和f(1)中较大者。
f(1/2a)=－ln(2a)＋a(1/2a)²－(2a＋1)×(1/2a)<0，
f(1)=0＋a－(2a＋1)=－a－1<0，不满足；
(4)若a≥1/2，则f(x)在(0，e]上的最大值是：f(1/2a)与f(e)中的较大者。
f(1/2a)<0
f(e)=1＋ae²－(2a＋1)e=1，得：
a=1/(e－2)，满足

综合，得：a=－2或a=1/(e－2)

Answer 2

解：f(x)=lnx+ax2+bx，x∈（0，+∝）
求导：f‘(x)=1/x+2ax+b
当x=1时函数有极值,则
2a+b+1=0
1）.当a=1时，b=-3,则
令f'(x)=1/x+2x-3=(2x^2 -3x+1) /x =0 得解x1=1 ，x2=1／ 2
故 f(x)在（0，1／2 ）和（1，+∝）上单调递增，在（1／2，1）单调递减
第2问不太懂

Answer 3

解：f(x)=lnx+ax2+bx，x∈（0，+∝）
求导：f‘(x)=1/x+2ax+b
当x=1时函数有极值,则
2a+b+1=0
1）.当a=1时，b=0,则
f'(x)=1/x+2x≥2√2
故 f(x)在（0，+∝）上单调递增
2）.