Question

如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=3/4x的图像交与点A

已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=3/4x的图像交于点A，且与x轴交于点B
.过点A作AC⊥y轴交y轴于点C，过点B作直线l∥y轴 .动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②当P在OC上时，以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，试求t的值.

Answer 1

解：（1）∵一次函数y=-x+7与正比例函数y=
4
3
x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
∴
y=-x+7
y=
4
3
x
，
解得：
x=3
y=4
，
∴A点坐标为：（3，4）；
∵y=-x+7=0，
解得：x=7，
∴B点坐标为：（7，0）．

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，
∴S梯形ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，
∴
1
2
（AC+BO）×CO-
1
2
AC×CP-
1
2
PO×RO-
1
2
AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t2-8t+12=0，
解得：t1=2，t2=6（舍去），
当4≤t＜7时，S△APR=
1
2
AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；
综上所述，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；

②存在．延长CA到直线l于一点D，当l与AB相交于Q，
∵一次函数y=-x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直线l∥y轴，
∴RQ=RB，CD⊥L，
当0≤t＜4时，如图1，
RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，
∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，
∴9+（4-t）2=2（4-t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去），
当AP=PQ时 32+（4-t）2=（7-t）2，
解得t=4 （舍去）
当PQ=AQ时，2（4-t）2=（7-t）2，
解得t1=1+3
2
（舍去），t2=1-3
2
（舍去）
当4≤t＜7时，如图（备用图），过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4，
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t，
由cos∠OAC=
AE
AQ
=
AC
AO
，
得AQ=
5
3
（t-4），
若AQ=AP，则
5
3
（t-4）=7-t，解得t=
41
8
，
当AQ=PQ时，AE=PE，即AE=
1
2
AP，
得t-4=
1
2
（7-t），
解得：t=5，
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ，于F，
AF=
1
2
AQ=
1
2
×
5
3
（t-4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF=
AF
AP
=
3
5
，
得AF=
3
5
AP，
即
1
2
×
5
3
（t-4）=
3
5
（7-t），
解得：t=
226
43
，
综上所述，当t=1、5、
41
8
、
226
43
秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．

Answer 2

解决方法：同时=-X +7 Y = -4/3x是：
-X +7 = -4/3x是：

= -21。

带入的任何方程：

Y = -14

A点（-21，-14）

Y = 0代入方程Y =-X +7

得到X = 7
B点（7,0）