Question

在数列{an}中a1=1,an+1=3^nan 求an

Answer 1

累乘法
a(n)/a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)/a(n-2)=3^(n-2)
a(n-2)/a(n-3)=3^(n-3)
...
a2/a1=3
相乘得an/a1=3^[1+2+3...+(n-1)]=3^[n(n-1)/2]，所以an=3^[n(n-1)/2]

Answer 2

解答：
∵ a(n+1)=3^n*an
∴ log3[a(n+1)]=log3[(3^n*an)]=log3[3^n]+log3(an)
∴ log3[a(n+1)]-log3(an)=n
设 bn=log3(an)
∴ b(n+1)-b(n)=n
∴ b2-b1=1
b3-b2=2
b4-b3=3
......
b(n)-b(n-1)=n-1
以上式子叠加
∴ b(n)-b1=1+2+3+....+(n-1)=n(n-1)/2
∴ b(n)=b1+n(n-1)/2=log3(1)+n(n-1)/2=n(n-1)/2
∴ log3(an)=log3{3^[n(n-1)/2]}
∴ an=3^[n(n-1)/2]

Answer 3