Question

求椭球面x^2+2y^2+3z^2=21上某点处的切平面的方程，该切平面过已知直线：(x-6)/2=y-3=(2z-1)/-2,求解

Answer 1

设切点坐标为 P（a，b，c）

则 P 处的切平面方程为 ax+2by+3cz=21 。

在直线上取两点 A（6，3，1/2）、B（8，4，-1/2），

分别代入平面方程得

6a+6b+3/2*c=21 ，--------------①

8a+8b-3/2*c=21 ，---------------②

又 a^2+2b^2+3c^2=21 ，---------③

以上三式可解得 P 坐标为（3，0，2）或 （1，2，2），

所以，所求平面方程为 3x+6z-21=0 或 x+4y+6z-21=0 。

相关概念

椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称. 椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为 (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴，它的一半叫做半轴。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

设切点坐标为 P（a，b，c），
则 P 处的切平面方程为 ax+2by+3cz=21 。（这是公式，该记住的）
在直线上取两点 A（6，3，1/2）、B（8，4，-1/2），
分别代入平面方程得
6a+6b+3/2*c=21 ，--------------①
8a+8b-3/2*c=21 ，---------------②
又 a^2+2b^2+3c^2=21 ，---------③
以上三式可解得 P 坐标为（3，0，2）或 （1，2，2），
所以，所求平面方程为 3x+6z-21=0 或 x+4y+6z-21=0 。

Answer 4

切点(x0,y0,z0)由椭球面方程设平面方程：2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+6z0(z-z0)=0
由直线方程知2•2x0+4y0-6z0=0
直线上一点（6，3，1/2）代入得12x0+12y0+3z0-2(x0^2+2y0^2+3z0^2)=0 与椭球面方程联立得：
12x0+12y0+3z0=42 4x0+4y0-6z0=0
解得z0=2,y0=2或0，x0=1或3
所以平面方程为：x+2z=7和x+4y+6z=21

Answer 5

一楼开头就不对，误人。想知道怎么做找我问。一开始我也有个类似的不会，用拉格朗日乘数法做的题，打算找个简单的练练手，发现这个题别的都答案都这样不知道谁复制粘贴的，这水平不是来坑人么