Question

已知f(x)=lnx-1/4ax^2-x.若在区间(1,2)内任取两个实数p,q(p≠q),不等式{f(p)-f(q)}/（p-q）>0

恒成立则实数a的范围是 求数学大神给解答，希望写详细过程

Answer 1

{f(p)-f(q)}/（p-q）>0恒成立表示{f(p)-f(q)}与p-q同号，也就是说f(x）若在区间(1,2)内为递增函数，
即f(x)的导数在(1,2)内恒大于等于零，即对f(x）的导数1/x+1/(2ax^3)-1大于等于零求解，
由于此导数在(1,2)内递减，则将x=1带入得1/1+1/(2a1^3)-1大于等于零得a>0

Answer 2

　　有歧义且看的头晕，把问题整理一下再做，如果与原问题有出入，请告知！
　　已知f(x)=lnx-(1/4)ax²-x，若在区间(1,2)内任取两个实数p、q(p≠q)，不等式[f(p)-f(q)]/(p-q)>0恒成立，求实数a的取值范围。
　　p、q∈(1,2)，且p≠q，不妨设q=p+Δp，则Δp≠0
原不等式等价于
[f(p)-f(p+Δp)]/(-Δp)>0
即
[f(p+Δp)-f(p)]/Δp>0 ①
由Δp的任意性，①又等价于
f'(p)>0 ∀p∈(1,2)
从而
∀x∈(1,2)， f'(x)=1/x-(1/2)ax-1>0
即
∀x∈(1,2)， a＜2(1/x)[(1/x)-1]
设u=1/x，则u∈(1/2，1)，问题变为
∀u∈(1/2，1)，a＜2u(u-1)
构造g(u)=2u(u-1)，则g(u)在u∈(1/2，1)内递增，故
g(1/2)＜g(u)＜g(1)
即
∀u∈(1/2，1)，-1/2＜g(u)＜0
所以实数a的取值范围为
a∈(-∞，-1/2]

追问

好深奥啊 看不明白

追答

具体哪一步？总体思路：在要求区间上构造导数定义式，把问题转化为导数问题，再转化为含参不等式，再变量分离，最后通过确定分离出的函数最值确定出参数a的取值单位。看懂了后别忘采纳噢。

Answer 3