Question

无穷级数问题

用比较审敛法的极限形式， 得到两个发散级数 例如 1／n 和1／（n*n的根号n次）那么他们的差组成的新的级数是否一定收敛？怎么证明？
并不是特指上面的那两个级数，而是整体的证明

Answer 1

1首先更正1/n是发散打，
2比较审敛法的极限形式如下，
如假定有两个无穷数列的和Sn,Tn都是正项级数，
（1）如果limn->∝Sn/Tn=l(0<=i<+∝)，且级数Tn收敛，则级数Sn收敛。
（2）如果limn->∝Sn/Tn=l>0或limn->∝Sn/Tn=+∝，且级数Tn发散，则级数Sn发散。
假设为x，y是正负符号非交替变化的，则有x-y<=|x|+|y|，所以，必然收敛

追问

首先要声明一下 我没说1／n是收敛的 不知道你是怎么看出来的
2 你回答的东西就是书上全有，
请好好回答问题好么 要做就认真点我问什么

追答

假设为x，y是正负符号非交替变化的，且用比较审敛法的极限形式， 得到两个发散级数，
则有：级数(-|x|-|y|)和<=级数(x-y）的和<=级数（|x|+|y|）的和，因为是x，y级数收敛，所以，级数和（-|x|-|y|）、级数和（|x|+|y|）存在，所以级数x-y必然收敛。

你问的问题需要有前提，不能是交错级数，否则不能成立

追问

为啥会出现交错级数。重点不是交错级数啊 还有你说的能不能在解释下？

追答

更正：上面的方法不能证明交错级数相减是否正确，不能说交错级数相减不成立。

交错级数的证明方法需要加一点说明

如果交错级数x和y收敛则有

x-y=(-1)^n F(x)-(-1)^nF(y)=(-1)^n(F(x)-F(y));

因为根据莱布尼茨公式，可以证明x-y收敛。

刚找了一个图，能更能说明你的问题

追问

完全没找到我问的问题的重点。。。。。。

追答

好吧，我看错问题了，
一直以为是“得到两个收敛的级数”

Answer 2

两个收敛的级数加减一定收敛，一个收敛一个不收敛的加减一定不收敛。2个都不收敛的要判别了，比如极限为0，后项比上前项的绝对值的极限小于等于1，判别方法去看高等数学书吧

追问

我是在做复习题 看到了1／n和1／ln（1 1／n） 后一个可以用比值审敛法知道是发散的。然后两个的差值是收敛的，所以想问问，是不是说。用比值审敛法得到的两个发散的级数的差值是收敛的

追答

不一定发散，也不一定收敛。你熟悉了判别方法了不就啥都不怕了么

Answer 3

最好把问题叙述得再明白一点.
没理解错的话, 你的问题是这样的:
∑a[n], ∑b[n]是两个正项发散级数, 并满足lim{n→∞} a[n]/b[n] = 1, 是否一定有∑(a[n]-b[n])收敛?

答案是否定的.
反例如a[n] = 1/√n+1/n, b[n] = 1/√n.
再比如a[n] = 1/n+1/(n·ln(n)), b[n] = 1/n.

Answer 4

你所说的那个级数收敛，用比较审敛法即可。
但对于一般的情况不一定吧。

追问

就是说 极限是等价无穷小， 实际的两个差值组成的级数还是要判断的对吧？
那么能不能举一个反例呢？