Question

中心是原点,两个焦点在x轴上的椭圆上有一点P(3,t),若P点到两焦点的距离分别为6.5和3.5

求椭圆的标准方程。要详细过程！！！

Answer 1

依题意设椭圆方程为
x²/a²+y²/b²=1,(a>b>0,c=√(a²+b²) )
P点到两焦点F1,F2的距离分别为6.5和3.5
∴2a=6.5+3.5=10 ,a=5
,离心率e=c/5
∵P(3,t)
∴P到右准线l2:x=25/c的距离d=25/c-3
根据椭圆第二定义：
|PF2|/d=e=c/5
∴|PF2|=c/5*(25/c-3)=7/2
∴5-3c/5=7/2
∴25-3c=35/2
∴15/2=3c
∴c=5/2
∴b²=a²-c²=25-25/4=75/4
∴椭圆方程为x²/25+4y²/75=1

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Answer 2

由椭圆定义，点P到两焦点的距离和等于2a，立刻解得a＝5；
又由焦半径计算公式：PF＝a加减ex0得到e＝c/a＝0.5；所以c＝2.5；
又b方＝a方－c方，解得b方＝18.75，所以椭圆方程为：
x方/25+y方/18.75＝1

Answer 3

设椭圆两焦点为F1、F2所以PF1＋PF2＝6.5+3.5=10=2a 所以a=5设F1坐标（-c,0） F2坐标（c,0)所以根据距离公式有：(3+c)^2+t^2=42.25....(1)
(3-c)^2+t^2=12.25....(2)
（1）－（2）式得（3+c)^2-(3-c)^2=30 解得c=2.5因为b^2=a^2-c^2 所以解得b^2=75/4所以椭圆方程为：x^2/25+(4*y^2)/75=1