Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=6
5，tan∠ADC=2．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）求半圆O的直径；
（3）求AD的长．

Answer 1

解：依题意作图如上

(1)，依题意有CA=CD,因此△ACD是以C为顶点的等腰三角形，即∠CAD=∠CDA

        依题意OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，有OB=OD等于半圆半径

        因此△BOD是O为顶点的等腰三角形，即∠OBD=∠ODB

        又△ABC是以∠ACB为直角的三角形，则有，∠CAB(∠CAD)+∠CBA(∠CBD)=90°

        即，∠CDA+∠ODB=90°，又，∠ODC+∠CDA+∠ODB=180°

        所以∠ODC=90°，即CD是半圆O的切线