Question

已知椭圆C:X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的上顶点为A,左右焦点为F1，F2,且椭圆过P(4/3，b/3)

以AP为直径的圆恰好过F2
若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值？若存在，求两定点坐标；若不存在，请说明理由
我已求出C:X^2/2+y^2=1

Answer 1

解：(1)因为椭圆过点P(4/3，b/3),所以16/9a2+1/9=1,解得a2=2,
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2垂直于F2P,即-b/c*（b/3）/[4/3-c]=-1, b^2=c(4-3c).
而b^2=a^2-c^2=2-c^2,所以c^2-2c+1=0,解得c^2=1,
故椭圆C的方程是x2/2+y2=1.
(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以
△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，
即 1+2k2=p2.
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
|ks+p|/根号（k2+1）*|kt+p|/根号（k2+1）=|k2st+kp(s+t)+p2|/（k2+1）=1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得st+1=0，s+t=0.
解得s=1，t=-1,或s=-1，t=1,
而(**)不恒成立.
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=土根号2时，
定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(根号2－1)(根号2+1)=1.
综上所述，存在二个定点是（-1，0），（1，0），使其到直线l的距离之积为定值是1。