Question

已知函数fx=lnx-ax2+(2-a）x 讨论fx单调性。

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Answer 1

f(x)=lnx-ax²+(2-a)x ，x>0

f ′(x)=1/x-2ax+2-a
=[-2ax²+(2-a)x+1]/x
=(2x+1)(1-ax)/x
=(2+1/x)(1-ax)

因为x>0
所以2+1/x>0

当a≤0时，
因为1-ax>0
所以f ′(x)=(2+1/x)(1-ax)>0恒成
所以f(x)在定义域单调递增
当a>0时，
因为2+1/x>0
所以令f ′(x)=(2+1/x)(1-ax)>0得x<1/a
所以当0<x<1/a时f ′(x)>0，f (x)单调递增
当x>1/a时f ′(x)<0，f (x)单调递减

Answer 2

f(x)=lnx-ax^+(2-a）x,x>0,
f'(x)=1/x-2ax+2-a
=[-2ax^+(2-a)x+1]/x
=（1+2x)(1-ax)/x,
a<=0时f'(x)>0,f(x)↑；
a>0时0<x<1/a,f'(x)>0,f(x)↑；x>1/a,f'(x)<0,f(x)↓.