Question

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点

1.E恰为棱CC1的中点是，求证，平面A1BD⊥平面EBD
2.在1.的条件下，求VA1-BDE

Answer 1

用数量关系来求解吧

（1）如图连接各点，F为底面ABCE的中心点

∵ 在正方体的棱长为a，E 为棱CC1的中点

∴ CE = a/2，AF = CF = √2a/2

在平面AA1C1C内，A1A ⊥平面ABCD，CC1⊥平面ABCD，CC1⊥平面A1B1C1D1

∴ A1A ⊥AF，CC1⊥CF，CC1⊥A1C1

∴ △A1AF是直角三角形，△ECF是直角三角形，△EA1C1是直角三角形

根据勾股定理，有

∴ (A1F)² = (A1A)² + (AF)² = a² + (√2a/2)² = 6a²/4

     (EF)² = (EC)² + (CF)² = (a/2)² + (√2a/2)² = 3a²/4

     (A1E)² = (A1C1)² + (EC1)² = (√2a)² + (a/2)² = 9a²/4

∴  (A1F)² + (EF)² = (A1E)²   

∴ △A1EF是直角三角形，∠A1FE = 90°

∴ A1F ⊥EF

在平面ABCD中，AC⊥BD，又CC1⊥BD平面ABCD

∴ BD⊥平面AA1C1C

∴ BD⊥A1F，BD⊥EF

∴ ∠A1FE 是平面A1BD 和平面EBD的二面角 

∵ 又已经证明 ∠A1FE = 90°

∴ 平面A1BD⊥平面EBD

（2）

∵ 平面A1BD⊥平面EBD

∴ 三角锥A1-BDE是一个直角三角锥

∴ 三角锥A1-BDE的体积 V = 1/3 × 底面积A1BD × 高EF

∵ BD⊥平面AA1C1C

∴ BD⊥A1F

∴ △A1BD的面积 = 1/2 × BD × A1F =1/2 × √2a × √3a/2 = √6a/4

∴ 三角锥A1-BDE的体积 V = 1/3 × √6a/4 × √3a/2 = √2a²/8