Question

已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,弦CF⊥AB于E,C是 弧AD 的中点,连接BD,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q．

（1）求证：P是AQ的中点；
（2）若tan∠ABC=3/4，CF=8，求CQ的长．

Answer 1

1.关键是证明△CPA和△CPQ是等腰三角形
因为C为弧AD中点，所以弧AC=弧CD,而CF⊥AB,所以弧AF=弧AC
所以，弧AF=弧AC=弧CD,弧对应的角CAD=ACF,所以，△ACP为等腰三角形，而AB为直径，角ACB为直角，那么，角CQA也就等于了角PCQ,所以△CPQ亦为等腰三角形，这样，AE=CP=PQ,P为AQ中点
2.第一问中已知弧FA=弧AC=弧CD,所以对应的角∠CAD=∠ACF=∠CBA=∠DBC
且，角∠ACB=∠ADB=90°，那么，根据CF=8，计算得
CE=4，
AE=CE*tan∠ACE=3，
AC=√(AE²+CE²)=5
CQ=AC*tan∠CAQ=15/4
完毕