Question

x.y.z为实数,且满足x²-yz-8x+7=0及y²+z²+yz-6x+6=0，求证：1≤x≤9

Answer 1

由x²-yz-8x+7=0，得：yz=x²-8x+7=(x-7)(x-1)；
由y²+z²+yz-6x+6=0，得：y²+z²=6x-6-yz=-x²+14x-13=-(x-13)(x-1)；
而y²+z²≥2|yz|=2|(x-7)(x-1)|；
当x≥7时，得：
-(x-13)(x-1)≥2(x-7)(x-1)，解得：x≤9；
当1<x≤7时， 得：
-(x-13)(x-1)≥-2(x-7)(x-1)，解得：x≥1；
当x=1时，得：0≥0，成立；
当x<1时，得：
-(x-13)(x-1)≥2(x-7)(x-1)，解得：x≥9；
综上，可得1≤x≤9。