Question

高一数学求函数值域一题

求函数y=（sin^a-5sina+7）/(3-sina)的值域. ^代表平方

Answer 1

-1≤sina≤1 3-sina恒>0，无论a取何实数，y恒有意义，a可取任意实数，函数定义域为R。
y=[(sina)^2-5sina+7]/(3-sina)
=[(sina)^2-3sina-2sina+6+1]/(3-sina)
=-sina -2 +1/(3-sina)
=(3-sina) +1/(3-sina) -5
3-sina≥2，由均值不等式得
y≥(3-1)+1/(3-1) -5=-5/2
函数的值域为[-5/2，+∞)

Answer 2

∵-1<sina<1
∴3-sina>0

∴
y=（sin²a-5sina+7）/(3-sina)

=（sin²a-5sina+6+1）/(3-sina)
=(sina-3)(sina-2)+1]/(3-sina)
=2-sina+1/(3-sina)
=-1+(3-sina)+1/(3-sina)
≥-1+2√2

Answer 3

转换得y=2-sina+1/(3-sina)，因sina属于区间【-1,1】，可验证y单调递减。因此取sina=1得最小值3/2，取sina=-1得最大值13/4

Answer 4

=3-sina 1/（3-sina）-1 设t=3-sina 2≤t≤4 =t 1/t-1在[2，4]递增 故值域为〔3/2，13/4〕

Answer 5

换元，sina=x，
y=(x^2-5x+7)/(3-x) -1≤x≤1,
3/2≤y≤13/4