Question

如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,CD⊥AB,垂足是点D,E是BC上的一点，CE=AF

（1）探索△DEF是怎样的三角形，并进行证明（2）证明S四边形CFDE=2/1S△ABC

Answer 1

1）证明：因为∠ACB=90，CA=CB
所以△ABC为等腰直角三角形，∠A=∠B=45
CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一
所以D为AB中点，CD也为斜边上中线
因此AD=BD=CD
∠ACD=∠BCD=45
在△ADF和△CDE中
AD=CD，∠A=∠DCE=45，AF=CE
所以△ADF≌△CDE。
因此∠ADF=∠CDE，DF=DE
∠EDF=∠ADC-∠ADF+∠CDE=∠ADC=90
所以△DEF为等腰直角三角形
（2）CF=AC-AF，BE=BC-CE
所以CF=BE
在△BDE和△CDF中
BD=CD，∠B=∠FCD，BE=CF
所以△BDE≌△CDF
则有S△ADF=S△CDE，S△BDE=S△CDF
S△ABC=S△ADF+S△CDE+S△BDE+S△CDF=2（S△CDE+S△CDF）=2S四边形CFDE