Question

初中动点数学题

如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动的过程中，DF的最小值是？

Answer 1

设DE=x，则AE=3√3-x，根据题意可得0≤x≤3√3

∵AD是等边三角形ABC的对称轴

∴AD⊥BC  BD=DC

∴CD=3（等边三角形边长BC=6）

∴CE²=x²+9

∵CF是经过CE旋转得到的

∴CE=CF

∵△ABC是等边三角形

∴∠ACB=60°

∵旋转角∠BCF=60°

∴∠ACE=∠DCF

∴cos∠ACE=cos∠DCF

∵cos∠ACE=（AC²+CE²-AE²）/（2xACxCE)    cos∠DCF=（CD²+CF²-DF²）/(2xCDxCF)

∴（AC²+CE²-AE²）/2=CD²+CF²-DF²

36+CE²-AE²=18+2xDF²

DF²=x²-3√3x+9

配方，得DF²=【（x-3√3/2)】²+9/4

∵0≤x≤3√3

∴当x=3√3/2时，DF²有最小值，为9/4

∴当x=3√3/2时，DF有最小值，为3/2

Answer 2

在AB上取一点F，使AF＝AE，连CF交AD于一点，这点就是M。下面给出证明：
∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，∴∠CAD＝∠BAD，结合AE＝AF，AM＝AM，得：
△AME≌△AMF，∴EM＝FM，∴EM＋CM＝FM＋CM＝CF。

若M为另一点时，CFM就构成的一个三角形，由三角形两边之和大于第三边，
得：FM＋CM＞CF，即：EM＋CM＞CF。

∴当M为CF与AD的交点时，EM＋CM有最小值。
过C作CG⊥AB交AB于G。
∵△ABC是等边三角形，而CG⊥AB，∴AG＝AB/2＝6/2＝3，又AF＝AE＝2，∴FG＝3－2＝1
容易求出：CG＝3√3。
由勾股定理，得：
CF＝√（CG^2＋FG^2）＝√（27＋1）＝2√7，即：EM＋CM的最小值为2√7。

Answer 3

取AC中点G，连接GE
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∵旋转角∠BCF=60°
∴∠GCE=∠DCF
∵GC=DC，EC=FC
∴△GCE与△DCF是全等三角形
∴DF=GE
当GE垂直于AD时，GE最短
∴DF=GE=1.5

Answer 4

想法好像不成熟
过后证明

Answer 5

设AD与BC的焦点为G，当G为EF的中点时DF最小

Answer 6

d点和e点重合时 df最小 为3