Question

初中数学 动点题型

已知：在平行四边形ABCD中，AB=20cm，AD=30cm，∠ABC=60°，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为 2 cm/s；同时，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s,当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，过点P作PM⊥AD交AD于点M，连接PQ，QM。设运动时间为t s (0<t≤6）
（1）设△PQM的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（2）是否存在某一时刻使得△PQM的面积最大？若存在，求出此时t的值，并求出最大面积；若不存在，请说明理由；
（3）过点M作MN//AB交BC于点N，连接PN，是否存在某一时刻使得PM=PN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当PQ//AD，因为AQ//PD，

所以四边形AQPD是平行四边形，
所以AQ=PD，
所以20-2t=3t，
解得，t=4，
即当t=4时，PQ//AD。
（2）因为BQ=2t，PD=3t，所以AQ=20-2t，
因为∠ABC=60°，所以∠D=60°
因为PM⊥AD，所以∠PMD=30°，
所以MD=1/2PD=3/2t，MP=3√3/2t
过Q点作QE⊥AD交DA的延长线于点E，过C点作CD⊥AB交AB于点D，
因为∠ABC=60°，所以∠QAE=60°，
所以QE=AQ/sin60°=√3/3（40-4t），CF=BC/sin60°=15√3，
因为S△PQM=S梯形AQOD-S△AQM-S△PMD，
即y=1/2×（AQ+PD）×CF-1/2×AM×QE-1/2×MD×MP=1/2×（20-2x+3x）×15√3-1/2×（30-3/2x）×√3/3（40-4t）-1/2×3/2t×3√3/2t
化简得，y=-15√3t²/8+105√3t/4
因为2t≤20，3t≤20，所以t≤20/3。
所以y与t的函数关系式为y=-15√3t²/8+105√3t/4（0＜t≤20/3）。