Question

四面体的顶点和各棱的中点共10个点，其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？

四面体的顶点和各棱的中点共10个点，其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？（排列组合问题）

Answer 1

从10个点中任取4个点有种C(10,4)取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4C(6,4)种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：C(10,4)-4*C(6,4)-6-3=141（种）。