Question

问4个数学题，题目不难

（1） ∫e^sinx (sinxcosx)dx
(2)设∫xf(x)dx=arcsinx+c 则∫1/f(x)=
(3)设f'(e^x)=1+x 则f(x)=
(4)使积分∫(2 0)kx(1+x^2)^(-2)dx=32 k=

我做出来的答案选项没有，求解，谢谢
什么情况啊。。。。。没人会做啊。。。。。

Answer 1

(1)∫e^sinxsinxcosxdx
=∫e^sinxsinxdsinx
=∫sinxde^sinx
=e^sinx*sinx-∫e^sinxdsinx
=e^sinx*sinx-e^sinx+C

(2)两边求导得：
xf(x)=1/√(1-x²)
则：f(x)=1/[x√(1-x²)]
∫ 1/f(x) dx
=∫ x√(1-x²) dx
=(1/2)∫ √(1-x²) d(x²)
=-(1/2)∫ √(1-x²) d(-x²)
=-(1/2)(2/3)(1-x²)^(3/2) + C
=-(1/3)(1-x²)^(3/2) + C

(3)令a=e^x
x=lna
f'(a)=1+lna
即f'(x)=1+lnx

f(x)=∫(1+lnx)dx
=x+∫lnxdx
=x+xlnx-∫xdlnx
=x+xlnx-∫x*1/xdx
=x+xlnx-∫dx
=x+xlnx-x+C
=xlnx+C

4)∫[0,2] kx(1+x^2)^-2dx
=k/2∫[0,2] (1+x^2)^-2d(1+x^2)
=-k/2*1/(1+x^2)[0,2]
=k/2-k/10
=2k/5
=32
k=80

追问

第（3）不对啊

追答

到底对不对?

Answer 2

（1） ∫e^sinx(sinxcosx)dx
= ∫e^sinx(sinx)dsinx=sinxe^sinx-e^sinx+C

(2)设∫xf(x)dx=arcsinx+c,求导得：xf(x)=1/√(1-x^2)
则∫1/f(x)dx=∫x√(1-x^2)dx=(-1/3)(1-x^2)^(3/2)+C
(3)设f'(e^x)=1+x f'(x)=1+lnx
则f(x)=xlnx+C
(4)64=K∫(2 0)(1+x^2)^(-2)dx^2
=-K/(1+x^2)|(0,2)
=K(1-1/5)=4k/5
k=80

Answer 3

1.令sinx=t
不定积分=∫e^t(t)dt=∫tde^t=t*e^t-∫e^tdt=(t-1)e^t=(sinx-1)e^sinx,使用的是分部积分法
2.两边取一阶导数
得：xf(x)=(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
1/f(x)=x√(1-x^2),进行一阶积分得-（1-x^2)^(3/2)/3
3.令e^x=t,则x=lnt,得f'(t)=df/dt*dt/dx=df/dt*e^x=t(df/dt),1+lnt=t(df/dt),f=∫(1+lnt)/tdt==∫(1+lnt)d(lnt)=lnt+(lnt)^2/2
4.I=k/2∫（2 0）(1+x^2)^(-2)dx^2=k/2(-1/(1+x^2))(2 0)=2k/5,故k=80

Answer 4

（1）∫e^sinxsinxcosxdx
=∫e^sinxsinxdsinx
=∫sinxde^sinx
=e^sinx*sinx-∫e^sinxdsinx
=e^sinx*sinx-e^sinx+C
（2）两边求导得：
xf(x)=1/√(1-x²)
则：f(x)=1/[x√(1-x²)]
（3）f'(x)=1+e^x
f(x)=x+e^x+c
（4）∫[0,2] kx(1+x^2)^-2dx
=k/2∫[0,2] (1+x^2)^-2d(1+x^2)
=-k/2*1/(1+x^2)[0,2]
=k/2-k/10
=2k/5
=32
k=80

追问

（2）（3）错解

追答

(2)设∫xf(x)dx=arcsinx+c 则∫1/f(x)=
xf(x)=1/√(1-x²)
则：1/f(x)=x√(1-x²)

(3)设f'(e^x)=1+x 则f(x)=
f'(x)=1+lnx

f(x)=∫1+lnxdx=x+xlnx-x+C
=xlnx+C

Answer 5

（1）e^sinx*(sinx-1)+C
(2)1/3*(1-x^2)^3/2+C
(3)Lnx+1/2*(Lnx)^2
(3)k=80

追问

（3）错解