Question

二元函数的极值题 如图

Answer 1

f'x=e^(x-y)(x^2-2y^2)+e^(x-y)*2x=e^(x-y)*(x^2-2y^2+2x)
f'y=-e^(x-y)(x^2-2y^2)-e^(x-y)*4y=-e^(x-y)*(x^2-2y^2+4y)
A=f"xx=e^(x-y)(x^2-2y^2+4x+2)
C=f"yy=-e^(x-y)(x^2-2y^2+8y-4)
B=f"xy=-e^(x-y)(x^2-2y^2+2x+4y)
由f'x=f'y=0,得：
x^2-2y^2+2x=0 1）
x^2-2y^2+4y=0 2）
两式相减得：2x-4y=0,即x=2y
代入2）式得：4y^2-2y^2+4y=0,即y=0, -2
故x=0, -4
在点(0,0), A=2>0, C=4, B=0, B^2-AC<0,因此点（0，0）为极小值
在点(-4,-2),A=e^(-2)*(-6)<0, C=12e^(-2), B=8e^(-2), B^2-AC>0,因此点(-4,-2)不是极值

Answer 2

对x求偏导数：偏x/偏f=e^(x-y)*2x+e^(x+y)(x²-2y²)=0
对y求偏导数：偏y/偏f=-e^(x-y)(x²-2y²）-e^(X-y)（-4y）=0
∵e^(x-y)＞0,,x²+2x-2y²=0①
x²-2y²-4y=0 ②
①+②:x=-2y
代入-x²+4y+2y²：
-4y²+4y+2y²=0
2y²-4y=0，y1=0，y2=2.
x1=0，x2=-4.
两个极值点：（0，0）f（0，0）=3
（-4，2）f（-4，2）=8e^(-6)+3.

Answer 3

f'x=e^(x-y)(x^2-2y^2)+e^(x-y)*2x=e^(x-y)*(x^2-2y^2+2x)
f'y=-e^(x-y)(x^2-2y^2)-e^(x-y)*4y=-e^(x-y)*(x^2-2y^2+4y)
A=f"xx=e^(x-y)(x^2-2y^2+4x+2)
C=f"yy=-e^(x-y)(x^2-2y^2+8y-4)
B=f"xy=-e^(x-y)(x^2-2y^2+2x+4y)
由f'x=f'y=0,得:
x^2-2y^2+2x=0
1)
x^2-2y^2+4y=0
2)
两式相减得:2x-4y=0,即x=2y
代入2)式得:4y^2-2y^2+4y=0,即y=0,
-2
故x=0,
-4
在点(0,0),
A=2>0,
C=4,
B=0,
B^2-AC<0,因此点(0，0)为极小值
在点(-4,-2),A=e^(-2)*(-6)<0,
C=12e^(-2),
B=8e^(-2),
B^2-AC>0,因此点(-4,-2)不是极值