Question

如图，正方形abcd中，m，n分别为ad，dc的中点，cm与bn交与点p，求证pa等于ab

Answer 1

证明：延长cm与ba的延长线相交于点g
因为abcd是正方形
所以角mdc=角bcn＝角bad=90度
ab=dc＝bc
ab平行dc
所以角mdc=角mag
角mcd=角mga
因为点m是ad的中点
所以dm=am＝1／2ad
所以三角形dcm和三角形agm全等(AAS)
所以dc=ag
所以ag=ab
所以pa是三角形gpb的中线
因为角mdc=角bcn＝90度
因为点n是dc的中点
所以dn＝cn＝1／2dc
所以dm＝cn
因为dc＝bc（已证）
所以三角形dcm和三角形cnb全等（SAS）
所以角amc＝角bnc
因为角anp+角bnc=180度
所以角amc＋角anp＝180度
因为角mdc＋角amp＋角mpn＋角anp＝360度
所以角mpn＝90度
因为角mpn＋J　mpb＝180度
所以角mpb＝90度
所以三角形gpb是直角三角形
所以ap是直角三角形gpb的中线
所以pa＝ab

Answer 2

首先,MC和 NB是垂直的
因为△BNC, △CMD全等.∠ CNP =∠CMD. 即∠DNP, ∠CMD互补
所以∠D和∠NPM互补. 都=90度

延长PM, 过A,作PM垂线,交于Q.
因为△AMQ, △CNP全等, AQ = CP

再过A作BN垂线交于F.
AFPQ是矩形. AQ= PF
△ABF, △BCP全等. BF= CP

所以PF = BF
AF为中垂线, AP = AB

Answer 3

CM=BN且垂直
设AB=BC=1
tan CBN = 1/2 = tan PCN
NP = CN sin PCN = 1/2sqrt(5)
cosPBA = 2/sqrt(5)
PB = sqrt(5)/2 - 1/2sqrt(5)
PA^2 = PB^2 + AB^2 - 2AB*PB cosPBA = 1 = AB
PA= AB