Question

高中数学经典题目出处！求数学大神帮忙解答，急~

已知函数f（x）=loga x-2 /x+2 的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β-1），logaa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：2＜α＜4＜β；
这道题那本书上有啊?

Answer 1

f(x)=loga((x-2)/(x+2))
=loga((x+2-4)/(x+2))
=loga(1-4/(x+2))
1-4/(x+2)是增函数
又f(x)在[α,β]上是减函数
所以0<a<1

(x-2)/(x+2)>0 -2<x<2
-2<α<β<2
f(x)在[α,β]上是减函数
所以f(β)=log(a)a(β-1)
log(a)(1-4/(β+2))=log(a)a(β-1)
1-4/(β+2)=a(β-1)
β-2=a(β-1)(β+2)
同理可知
α-2=a(α-1)(α+2)
即方程
x-2=a(x-1)(x+2)有两解-2<x1,x2<2
ax^2+ax-2=x-2
ax^2+(a-1)x=0
ax(x+(a-1))=0
x1=0 x2=1-a
所以 -2<1-a<2
-1<a<3即可
综上所述 0<a<1

出自：2011-2012学年四川省绵阳市南山中学高三（上）九月诊断数学试卷（理科)

追问

据说这道题比较经典，是一道比较老的题目了，不知道那本现在比较流行的参考书上有。第一问的答案是0<a<1/9. 我其实很想知道现在高三哪些本资料书上有这个题目，最好是西安的一些中学用书！

追答

这个我就不清楚了，话说离开高中好多年了、、

追问

谢谢了~

Answer 2

f(x)=loga((x-2)/(x+2))
=loga((x+2-4)/(x+2))
=loga(1-4/(x+2))
1-4/(x+2)是增函数
又f(x)在[α,β]上是减函数
所以0<a<1
(x-2)/(x+2)>0 -2<x<2
-2<α<β<2
f(x)在[α,β]上是减函数
所以f(β)=log(a)a(β-1)
log(a)(1-4/(β+2))=log(a)a(β-1)
1-4/(β+2)=a(β-1)
β-2=a(β-1)(β+2)
同理可知
α-2=a(α-1)(α+2)
即方程
x-2=a(x-1)(x+2)有两解-2<x1,x2<2
ax^2+ax-2=x-2
ax^2+(a-1)x=0
ax(x+(a-1))=0
x1=0 x2=1-a
所以 -2<1-a<2
-1<a<3即可
综上所述 0<a<1