Question

多元函数的极值求法 求下列方程确定的函数z=f(x,y)的极值 x^2+y^2+z^2-8xz-z+8=0

表示有xyz的函数就不会做了，有xy的还能做，求高手讲解

Answer 1

1）先求驻点
这是隐函数
两边对x求导：2x+2zz'x-8z-8xz'x-z'x=0,得：z'x=(8z-2x)/(2z-8x-1),
两边对y求导：2y+2zz'y-8xz'y-z'y=0,得：z'y=2y/(-2z+8x+1)
令z'x=z'y=0得：8z-2x=0, 2y=0,
将y=0, x=4z代入原方程，得：16z^2+z^2-32z^2-z+8=0,解得：15z^2+z-8=0, z=(-1±√481)/30
从而得两个驻点(4z, 0,z)
2)再判断是否为极值
求二阶导,即对上述一阶导继续求导：
A=z''xx=[(8z'x-2)(2z-8x-1)-(8z-2x)(2z'x-8)]/(2z-8x-1)^2
B=z"xy
C=z"yy
分别代入驻点值算出A,B,C,然后就用x,y函数的极值判定法来判定了。