Question

已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论

我证到n=k+1 了 然后怎么写

Answer 1

很高兴为您解答：
(1) a1＝3/2 , a2＝7/4 , a3＝15/8 ,
猜测 an＝2－ 1/2^n
(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；
②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－1/2^k ,
当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－1/2^k , ak＋1＝2－1/2^k+1 ,
即当n＝k＋1时,命题成立.
根据①②得n∈N+ , an＝2－1/2^n 都立
谢谢，有帮助记得采纳哦，
祝学习进步。
THANKS THANKS THANKS

Answer 2

猜测 an＝2－ 1/2^n

设n=k时，猜想成立，即猜测 ak＝2－ 1/2^k
求Sk=2k- 1/2^k - 1
令n=k+1，a（k+1）=2（k+1）+1-S（k+1）
=2（k+1）+1-[Sk+a(k+1)]
=2(k+1)+1-[2k- 1/2^k - 1 +a(k+1)]
所以 2a(k+1) =4-1/2^k
所以 a(k+1) =2-1/2^（k+1）

Answer 3

是这题吧？

Answer 4

(1)n=1时s1+a1=3 得a1=3/2
n=2时s2+a2=5 a1+2a2=5 a2=7/4
n=3时s3+a3=7 a1+a2+2a3=7 a3=15/8
推测an=(2^n-1)/2^n
(2)证
由sn+an=2n+1
得sn=2n+1-an
s(n-1)=2n-1-a(n-1)
an=2-an+a(n-1)
2an=2+a(n-1)
an=1+a(n-1)/2
当n=2时a2=1+a1/2=1+3/4=7/4成立
设当n=k时ak=1+a(k-1)/2成立
则n=k+1时a(n+1)=1+ak/2=1+(1+a(k-1)/2)/2
=1+(1+(2^(n-1)-1)/2^(n-1))/2)/2
=(2^(n+1)-1)/2^(n+1)成立。