Question

已知函数f(x)=x²-2x-3,x∈(1,4] 1.已知g(x)=f(x)+m,若g(x)<0对任意x∈(1,4]恒成立,求实数m的取值范围

2.当k为何实数值时,方程x²-2x-3-k=0在x∈(1,4]恒成立
求详细解答过程~急求!谢谢

Answer 1

1.
g(x)=f(x)+m=x²-2x-3+m=x²-2x+1+m-4=(x-1)²+m-4
当x>1时, g(x)是增函数, 所以x=4时达到最大值
因此g(x)<0, 即有 (4-1)²+m-4<0
m<-5
2.
x²-2x-3-k=0 恒成立, 即方程必定有解在(1,4]
(-2)²-4*[-(3+k)]=4+4(3+k)=4(k+4)>=0, k>=-4
x=[2±2√(k+4)]/2=1±√(k+4)
因为 1-√(k+4)<1 , 所以该解不考虑
1+√(k+4)>=1, 根据条件应该大于1, 所以 k<>-4
又1+√(k+4)<=4, √(k+4)<=3, k+4<=9, k<=5
所以 -4<k<=5

追问

不好意思.第二题打错题目了.是当k为何实数值时,方程x²-2x-3-k=0在x∈(1,4]上的解集是单元素集

追答

解集是单元素，就是只有一个解
则(-2)²-4*[-(3+k)]=4+4(3+k)=4(k+4)=0, k=-4

检验：
代入后有 x²-2x+1=0, x=1, 满足条件

Answer 2