Question

已知a和b为实数，求证：a的平方＋b的平方+c的平方大于等于ab＋bc＋ac

Answer 1

证明：
a²+b²+c²-（ab+bc+ac）
=½x (2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)
=½x[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]
∵（a-b）²≥0，（b-c）²≥0，（c-a）²≥0
∴（a-b）²+（b-c²+（c-a）²≥0，
∴½x [（a-b）²+（b-c²+（c-a）²]≥0，
即a²+b²+c²≥（ab+bc+ac）

Answer 2

a²+b²+c²-（ab+bc+ac）
=1/2×【2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ac）】
=1/2×（a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²）
=1/2×【（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²】
因为a、b、c为实数，所以1/2×【（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²】≥0
也就是a的平方＋b的平方+c的平方大于等于ab＋bc＋ac

Answer 3

a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ca
相加得2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ca.

Answer 4

假设
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac
两边左右同乘以2
2×a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
可知左式只有在a=b=c的情况下等于0，如不等左必大于右（平方的定义）
左右同乘以2并不会影响原来的大于号，
所以a的平方＋b的平方+c的平方大于等于ab＋bc＋ac

Answer 5

∵(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)>=0
∴a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
【OK？】

Answer 6

给你一个高级一点的证法：

由柯西不等式立得：
(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2^a^2)>=(ab+bc+ca)^2.
两边开方即为所求。