Question

如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC延长线上,且AC=CF,角CBF=角CFB

(1)求证直线BF是⊙O的切线
(2)若点D,点E分别是弧AB的三等分点,当AD=5时,求BF的长
(3)填空:在(2)的条件下,如果以点C为圆心,r为半径的圆上存在不同的两点到点O的距离为5,则r的取值范围为?

Answer 1

1.∵∠CBF=∠F,∴BC=CF,又AC=CF,∴BC=1/2AF,∴△ABF是直角三角形,∴AB⊥BF.又AB是直径,∴BF是切线.
2.连接OD,因为弧AD=1/3弧AB,∴∠AOD=1/3∠AOB=60°,又OA=OD∴∠A=60°,OA=AD=5
∴AB=10,Rt△ABF中,BF/AB=tanA=√3,∴BF=10√3
3.∵⊙O的半径为5,因此C为圆心,r为半径的圆与⊙O相交
连接OC,则∵AC=BC,∴OC⊥AB(三线合一),在Rt△AOC中,OC=OAtanA=5√3
当两圆外切时,有r1+5=5√3,r1=5√3-5
当两圆内切时,有r2-5=5√3,r2=5√3+5
所以r的范围为(5√3-5,5√3+5)

Answer 2

第一个问题：

设：角ACB=a、角BCF=b，角BAC=x，角BFC=y

• 因为：

AC=CF；

角CBF=角CFB；

所以：

BC=CF=AC，角BFC=CBF=y，角BAC=ABC=x

• 因为：

角ACB+角BCF=180度

所以：a+b=180

因为：

三角形内角之和是180度

所以：

2x+a=2y+b=180

a+b=180-2x+180-2y

180=360-2（x+y）

2（x+y）=180

x+y=90

因为：角BFC=CBF=y，角BAC=ABC=x

所以角CBF+ABC=90度，AB垂直于BF，且AB是直径，所以，BF是圆的切线

Answer 3

连接AD，OD
∵AB为直径

∴∠ADB =∠ADC = 90°AD⊥BC

∵AB = AC

∴AD是一个等腰三角形ABC中心线（一条线），BD = DC

∵OA = OB

∴OD是△ABC中，中线

∴OD∥AC

∴ ∠ODF +∠AFD = 180°

∵DF⊥交流，∠AFD = 90°

∴∠ODF = 90°，即OD⊥DF

∴DF为⊙O的切线; 2，∵AB是△ABC的直径是一个等边三角形

∴∠BEA =∠BEC = 90°，即BE（BG）⊥AC

∠BAC =∠ABC =∠ACB = 60 °∴是中线的等边三角形ABC，AE = EC

∵EG = EG，∠AEG =∠CEG = 90°

∴△AEG≌△CEG（SAS）∴∠GAE =∠GCE 180°

∠GAC =∠GCA

∵AG∥BC

∴∠GAB +∠ABC =∠GAC +∠BAC +∠ABC = 180 °

∴∠GAC = 60°

∴∠GAC =∠GCA的= 60°

∴△ACG正三角形
∴∠AGC = 60°

Answer 4

（1）因为角CBF=角CFB，所以BC=CF。又因为AC=CF，所以BC=二分之一AF，所以△ABF是Rt△，即直线BF是⊙O的切线

(2)连接od和oe，因为点D,点E分别是弧AB的三等分点，所以三角形AOD和三角形ODE还有三角形OBE都是等边三角形，所以角度斗志60度，则三角形DEC也是等边三角形，由此可知AD=DC=5；则AF=20，AB=10.根据勾股定理可知BF=10根号3
（3）由（2）知线段OC=5根号3； r至少要大于OC-5并小于OC+5，即5*(√3-1)<r<5*(√3+1)

Answer 5

（2） 由三等分点知 ad=ao 角baf=60度。 ad=5 ab=10 bf=10乘以根号3
（3) r大于5 小于15

Answer 6

（1）因为角CBF=角CFB，所以BC=CF。又因为AC=CF，所以BC=二分之一AF，所以△ABF是Rt△，即直线BF是⊙O的切线
（2）因为点D,点E分别是弧AB的三等分点，所以角BAF=三分之一乘以180度=60度。连接OD，所以AO=AD=5，AB=10，所以BF=10倍根3
（3）大于等于5，小于等于10（有些不太自信）