Question

如图所示，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F

如图所示，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF，求证：EF=BC．.

Answer 1

因为CA=CB，
因为∠B=∠A，
又因为∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，
所以∠FCA=∠A．
所以CF∥AB．
又因为∠FCA=∠FEA，
所以∠FEA=∠B．
所以BC∥EF．
所以CFEB为平行四边形．
∴EF=BC．- =

Answer 2

分析：由等边对等角得∠B=∠A，由∠DCA是△ABC的外角，且CF平分∠DCA，可得∠DCF=∠FCA=∠A=∠B，由此可得FC∥AB，又∠FCA=∠FEA，因此∠FEA=∠B，即BC∥EF，因此四边形CFEB是平行四边形，可证得BC=EF．证明：∵CA=CB，
∵∠B=∠A，
又∵∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，
∴∠FCA=∠A．
∴CF∥AB．
又∵∠FCA=∠FEA，
∴∠FEA=∠B．
∴BC∥EF．
∴四边形CFEB为平行四边形．
∴EF=BC．

Answer 3

过C作AB垂线交AB于G
由题意易证CF⊥CG,CF∥AB
∠ACF=∠A=∠F,
AC=BC,角A=∠B=∠F
四边形BCFE是平行四边形
所以EF=BC