Question

常微分方程使用分离变量法 解某一题的疑惑

如题，y'=x(1-y)
第一步，用分离变量的方法，可以化为（1/1-y)dy=xdx
两边同时积分，可以得到ln|1-y|=x²/2+c
继续化简可以得到|1-y|=e^(x²/2)×e^c
然后1-y=±e^(x²/2)×e^c
所以有y=1±e^c×e^(x²/2)
将±e^c代替为C，同时补上y=1的根
则y=1+C×e^(x²/2)
上面过程有没有哪里错？
反复检查了很多遍都找不到标
准答案是y=C×e^(-x²/2),就多了个负号
而且发现如果使用一阶微分的公式求答案就是标准答案，不知道这个为什么不一样？

Answer 1

你错在第二步！∫dy/(1-y)=-∫d(1-y)/(1-y)=-ln(1-y)；其实可以这么作：
第一步分离变量得：dy/(1-y)=xdx；-dy/(y-1)=xdx，dy/(y-1)=-xdx
第二步取积分：∫d(y-1)/(y-1)=-∫xdx；ln(y-1)=-x²/2+lnC；
y-1=e^[-(x²/2)+lnC]；y=e^[(-x²/2+lnC)+1=[e^(-x²/2)][e^(lnC)+1=Ce^(-x²/2)+1
【因为y>1，故绝对值符号可以不写；后面的常量1不能归入到常数C里去。】

Answer 2

第一步，用分离变量的方法，可以化为（1/1-y)dy=xdx
两边同时积分，可以得到 -ln|1-y|=x²/2+c（这里有个负号）