Question

已知x²-（4m+1）x+3m²+m=0 若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7求m取值

抛物线y=x²-（4m+1）x+3m²+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取上题中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使评议后得到的抛物线定点落在△ABC的内部不包括△ABC的边界，求n的取值范围直接写出答案

Answer 1

原方程化为[x-(3m+1)](x-m),所以两个根就是m和3m+1，然后讨论①m>2,3m+1<7,明显的不成立②m<7,3m+1>2,有1/3<m<7。
于是第二个问中m值确定为1抛物线表达式就是y=x²-5x+4,顶点就是（2.5，-2.25）,ABC三点就是（4,0），（1,0），（0,4）.
经过平移之后的顶点横坐标还是2.5，线段AC上横坐标2.5的点是（2.5,1.5）也就是说平移后的顶点应该在（2.5，0）和（2.5,1.5）之间于是2.25<n<3.75.
头脑不是很清醒，数字计算可能有错误，方法应该没问题，最好验算下

Answer 2

令f(x)=x²-(4m+1)x+3m²+m
=[x-(4m+1)/2]²-(4m+1)/2]²+3m²+m
2<(4m+1)/2<7 ①
f(2)>0 ②
f(7)>0 ③
△=(4m+1)²-4(3m²+m)>0 ④
由①，得
3/4<m<13/4
由 ②，得
3m²-7m+2>0
(3m-1)(m-2)>0
m>2或m<1/3
由 ③，得
3m²-27m+42>0
(3m-6)(m-7)>0
m>7或m<2
由 ④，得
4m²-4m+1>0
即 (2m-1)>0
m≠1/2
故 m不存在