Question

在1，2，3，4，5这5个数字的所有排列a1，a2，a3，a4，a5中，记X为某一排列中

在1，2，3，4，5这5个数字的所有排列a1，a2，a3，a4，a5中，记X为某一排列中满足条件ai=i，(i=1，2，3，4，5)的个数(如排列1，5，3，2，4记X=2)，则随机变量X的数学期望为

Answer 1

这题好像比较麻烦，还好只有5个数字。
解：记集合Ai={数字i在排列中位于第i个位置上}，
则CardAi=4!=24(i=1、2、3、4、5).（Card表示集合元素个数）
Card(Ai∩Aj)=3!=6(i、j=1、2、3、4、5，i<j)
Card(Ai∩Aj∩Ak)=2!=2(i、j、k=1、2、3、4、5，i<j<k等)
Card(Ai∩Aj∩Ak∩Am)=1!=1(i、j、k、m=1、2、3、4、5，i<j<k<m)
(1)X=0，Card(A1∪A2∪A3∪A4∪A5的补)=5!-Card(A1∪A2∪A3∪A4∪A5)
=5!-[24*5-C(5,2)*6+C(5,3)*2-C(5,4)*1+C(5,5)*1]=44，即X=0的排列个数为44.
(2)X=1，Card(An∩(Ai∪Aj∪Ak∪Am的补))=C(5,1)*Card(Ai∪Aj∪Ak∪Am的补)
=5*[4!-(3!*4-C(4,2)*2!+C(4,3)*1!-C(4,4)*1)]=5*9=45，即X=1的排列个数为45.
(3)X=2，Card(An∩Am∩(Ai∪Aj∪Ak的补))=C(5,2)*Card(Ai∪Aj∪Ak的补)
=10*[3!-(2!*3-C(3,2)*1!+C(3,3)*1)]=10*2=20，即X=2的排列个数为20.
(4)X=3，Card(An∩Am∩Ak∩(Ai∪Aj的补))=C(5,3)*Card(Ai∪Aj的补)
=10*[2!-(1!*2-C(2,2)*1)]=10*1=10，即X=3的排列个数为10.
(5)X=5(或X=4)，排列个数为1.
44+45+20+10+1=120=5！
因而P(X=0)=44/120=11/30，P(X=1)=45/120=3/8，P(X=2)=20/120=1/6，
P(X=3)=10/120=1/12，P(X=5)=1/120，
则X的数学期望为EX=0*11/30+1*3/8+2*1/6+3*1/12+5*1/120=1.