Question

已知数列an的前n项和为sn,满足an+sn=2n,记bn=2-an,求证bn是等比数列，并求bn的

前n项和Bn

Answer 1

Sn=2n-an
an=Sn-Sn-1
=2n-an-(2(n-1)-an-1)
得2an=2+an-1
即an-1=2an-2
bn-1=2-an-1
=2-2an+2
=4-2an
bn/bn-1
=(2-an)/(4-2an)
=1/2
所以bn是公比为1/2的等比数列
当n=1时，a1+a1=2，即a1=1
所以b1=2-1=1
Bn=1*(1-0.5^n)/(1-0.5)
= 2(1-0.5^n)

追问

求b1(Bn-b1) b2(Bn-b2)＋…… b(n-1)(Bn-bn-1)(n大于等于2

Answer 2

an+sn=2n;
a(n-1)+s(n-1)=2(n-1);
上两式相减；
得2an-a(n-1)=2;
则2*(2-an)=(2-a(n-1));
即2*bn=b(n-1);
为等比数列；
s1=a1,得a1=1;
则b1=1;
bn=0.5^(n-1);

追问

求b1(Bn-b1) b2(Bn-b2)＋…… b(n-1)(Bn-bn-1)(n大于等于2)

追答

Bn=2-0.5^(n-1);
原式=Bn(b1+b2+b3+...bn-1)-(b1^2+b2^2...+b(n-1)^2)
=8/3-3*(0.5)^(n-2)-1/3*0.5^(2n-3)